Счет костьми

Приемы вычислений, аналогичные счету на линиях, существовали и в России. Они носили название счет костьми. Русский счет костьми описывается в древнерусском учебнике арифметики XVII века “Цифирная счетная мудрость”, хотя нет сомнения, что он существовал уже в XVI веке. Более того, есть мнение, описанное в книге Апокина И.А. «Развитие вычислительных машин», что счет костьми уходит своими корнями в глубокую древность.

Внешне доска для счета костьми очень походила на европейскую доску для счета на линиях. Горизонтальные линии использовались для отделения разрядов числа. Косточки на линиях обозначали единицы разряда, кость над линиями – пять единиц разряда. Кстати, и название «Счет костьми» произошло из-за частого использования для счета сливовых или вишневых косточек. Наряду с косточками использовались и специальные жетоны – «пенязи», из-за чего счет костьми часто называют счет пенязи.

При помощи счета костьми выполнялось четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. При сложении слагаемые выкладывались на линиях и поразрядно складывались с переносом переполнения в старший разряд. Счет удобнее всего было вести снизу вверх, т.е. от младших разрядов к старшим. При вычитании в начале на счетную доску выкладывалось уменьшаемое, затем поразрядно производилось вычитание путем снимания количества камешков, соответствующих разрядам вычитаемому. Если необходимо снять больше камешков, чем лежит в обрабатываемом разряде, то камушек, лежащий на верхней строке, разменивается на более мелкие, которые взамен снятому камешку добавляются в обрабатываемый разряд.

Умножение на счетной доске выполнялось по правилу умножения многочлена на многочлен: A*B=(10^kA_k+10^k-1A_k-1+…+A₀) * (10ⁿB_n+10^n-1B_n-1+…+B₀)=10^k+nA_kB_n+ 10^k+n-1A_kB_n-1+…A₀B₀. На рисунке справа приведен пример перемножения чисел 32 и 76. Как видно, умножение проходит в шесть этапов:

1. На счетной доске выкладываются сомножители (32 и 76).

2. В уме умножается младший разряд множителя (76) на младший разряд множимого (32), полученный результат (12) выкладывается на счетную доску.

3. Умножается младший разряд множителя на разряд десяток множимого (6*30), полученный результат (180) выкладывается на счетную доску.

4. Перемножаются старший разряд множителя и младший разряд множимого с соблюдением разрядности (70*2), полученный результат (140) выкладывается на счетную доску.

5. Перемножаются старшие разряды множителя и множимого с соблюдением разрядности (70*30) и полученный результат (2100) выкладывается на счетную доску.

6. Складываются ранее полученные результаты (12+180+140+2100). Их сумма (2433) и есть результат перемножения чисел 32 и 76.

Деление на счетной доске напоминало деление в столбик. Рассмотрим деление на примере 402/3= 134.

1. Выкладываем на счетной доске число 402.

2. Определяем наибольшее целое от деления старшего (третьего) разряда (4/3 = 1) и выкладываем полученный результат на счетной доске с учетом разрядности.

3. Определяем остаток от деления старшего разряда на три: 402-300=102. Выкладываем остаток на счетной доске. Если в третьем разряде есть косточки, то раздробляем их для записи остатка от деления в двух разрядных линиях доски.

4. Определяем наибольшее целое от деления количества косточек на второй разрядной линии на три: 10/3=3. Выкладываем полученный результат на счетной доске с учетом разрядности.

5. Определяем остаток от деления: 102-90=12. Выкладываем остаток на счетной доске. Если во втором разряде есть косточки, то раздробляем их для записи остатка от деления в первой разрядной линии.

6. Определяем наибольшее целое от деления количества косточек на первой разрядной линии на три: 12/3=4. Выкладываем полученный результат на счетной доске с учетом разрядности.

7. Складываем полученные ранее наибольшие целые от деления разрядов с учетом разрядности: 100+30+4=134. Полученное число и есть результат деления 402 на 3.

Так же, счет костьми использовался для подсчета земельных и других видов налога, для чего на доске вводили добавочные разделения для откладывания трети (1/3), полутрети (1/6), половинополутрети (1/12), малые трети (1/24), а так же чети (1/4), получети (1/8), половинополучети (1/16), малые чети (1/32).

Наряду со счетом костьми в России был широко распространен «Дощаный счет».