Логарифмы

Несмотря на большое количество приспособлений для счета, перед ученым сообществом все еще стояла задача облегчения выполнения операций умножения и деления. И тогда несколько выдающихся математиков предложили алгоритм замены умножения и деления на сложение и вычитание с помощью таблиц сопоставления арифметических и геометрических прогрессий.

Так, в 1544 году в сочинении «Арифметика целых чисел» Михаэль Штифель, сравнивая арифметическую прогрессию, состоящую из степеней двойки (…. – 2, -1, 0, 1, 2…), и геометрическую прогрессию 2ⁿ (…1/4, 1/2, 1, 2, 4 …), обнаружил, что сумма двух чисел арифметической прогрессии равна показателю степени двойки произведения двух соответствующих элементов геометрической прогрессии, например: 2^-1 * 2² = 2^(-1+2) , где показатели степени -1 и 2 – элементы арифметической прогрессии, а 2^-1 и 2² – соответствующие элементы геометрической прогрессии.

Благодаря этому наблюдению Штифельду удалось сформулировать четыре основных правила соответствия, которые в последствии были положены в основу действия над логарифмами и операций над показателями степени. Для формулирования этих правил запишем таблицу степеней двойки, приведенную в «Арифметике целых чисел»:

И так, правила, разработанные Штифельдом, были следующие:

1. Сумма в верхней строке (арифметическая прогрессия) соответствует произведению в нижней строке (геометрическая прогрессия).

2. Вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке.

3. Умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке.

4. Деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

Несмотря на достигнутые успехи, Михаэль Штифель не приложил серьезных усилий для реализации своих идеи. Поэтому дальнейшее развитие мыслей, изложенных Штифельдом, получили в работе Джона Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов», вышедшей в 1614 году.

На изучение проблемы преобразования произведения в суммы Джона Непера подтолкнуло известие из Дании о том, что Тихо Браге и его ассистенты используют таблицы синусов и косинусов для приведения умножения к сложению. Приведение основывалось на правилах разложения произведений тригонометрических функций: 2*cos (a) *cos (b) = cos (a+b) +cos (a-b). Однако, этот прием не давал удовлетворительного решения проблемы умножения и деления, нашедшей решение лишь в таблицах логарифмов.

В работе Непера описывались таблицы логарифмов для синусов и косинусов от 0 до 90 градусов с шагом в 1 минуту и разницы этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Обоснование теории логарифмов Джона Непера были изложены в работе «Построение удивительной таблицы логарифмов», изданной посмертно в 1619 году.

Джон Непер описывал свою таблицу логарифмов так: «Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения. Она по справедливости названа небольшой, ибо по объему не превосходит таблицы синусов, весьма легкой, потому что с ее помощью избегают всех сложных умножений, делений и извлечений корня».

К сожалению, в таблицах Непера содержались вычислительные ошибки после шестого знака, однако, это не помешало новым способам вычисления получить огромную популярность, и термин логарифм, введенный Непером, утвердился в науке, несмотря на то, что его определение отличалось от современного понятия логарифма. Дело в том, что в то время еще не существовало понятия функции, и Непер использовал для определения логарифма понятия равномерного и замедляющегося движения. Равномерное движение выполняло роль арифметической прогрессии, члены которой в начале Джон Непер называл «искусственные числа» (numeri artificiales), а в последствии логарифмами. В работах Непера арифметическая прогрессия описывается так: из точки A течет точка B, протекающая в первую единицу времени путь от A до C, во вторую — от C до D и т. д., если эти пути равны, то пространства, пройденные от начала движения до конца каждой из последовательных единиц времени, представят члены арифметической прогрессии.

Для описания геометрической прогрессии использовалось замедляющееся движение такое, что за те же промежутки времени, что и для равномерного движения, тело проходило пропорционально уменьшающиеся расстояния. То есть, если в первый промежуток времени тело проходило 1/n всего предстоящего пути, то во второй промежуток времени оно пройдет 1/n от оставшегося пути. Таким образом, проходимые за каждый промежуток времени расстояния могут быть представлены рядом: 1/n , (n-1)/n² , (n-1)²/n³ , (n-1)³/ n⁴ …, а части пути оставшиеся после каждой единицы времени будут составлять геометрическую прогрессию: (n-1)/n , [(n-1)/n]² , [(n-1)/n]³ , [(n-1)/n]⁴ …, элементы которой соответствуют приведенной выше арифметической прогрессии.

Несмотря на то, что таблицы Непера предназначались для нахождения логарифмов тригонометрических функций, их можно было использовать и для нахождения логарифмов натуральных чисел, однако, для этого было необходимо проводить ряд сложных сопоставлений элементов таблиц.

Чтобы устранить недостатки при работе с натуральными числами, Непер после обсуждения в 1615 году с профессором Генри Бригсом предложил принять за логарифм единицы ноль, а за логарифм десяти – единицу. Однако, осуществить свой замысел из-за проблем со здоровьем он не успел, и первые таблицы логарифмов с основанием 10 составил Бригс. Десятичные таблицы Бригса были удобнее и проще для практического применения, из-за чего десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми.

Параллельно с Непером над таблицами логарифмов работал Иобстом Бюрги, однако, он держал результаты своих работ в секрете и опубликовал их только в 1620 году.

Первые таблицы на русском языке были изданы только в 1703 году при непосредственном участии педагога Магницкого Л.Ф. Логарифмирование, в современном понятии этого термина (операция, обратная возведению в степень), впервые появилось у Иоганна Бернулли и Валлиса, а окончательно было сформулировано и закреплено петербургским академиком Леонардом Эйлером в XVIII веке.

На данный момент логарифм числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b и обозначается как log_ab. Наибольшее применение нашли десятичные логарифмы (основание 10, lg a), натуральные логарифмы (основание е, ln a) и двоичные (основание 2, lb a).

Основные свойства логарифмов:

Как видно из свойств логарифмов, сложное и трудоемкое умножение заменяется поиском по таблицы логарифмов и сложением их значений, а затем поиском по тем же таблицам результата по значению логарифма. Выполнение деления аналогично и отличается только тем, что значения логарифмов делимого и делителя вычитаются.

Для облегчения использования таблиц логарифмов и ускорения вычислений в 1620 годах была изобретена логарифмическая линейка.